MATEMATES

09/03/2011

De juegos, guerras y matemáticas

Filed under: Para leer...,Para pensar...,Probabilidad — joaquinriveromatematicas @ 15:40
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Al hombre, siempre le han fascinado los juegos, esas combinaciones de azar y estrategia en proporciones variables de las que se ha nutrido para llenar sus ratos libres. Estas mismas palabras bien pueden definir otra tarea a la que parece irremediablemente unido el ser humano, la guerra. Juegos y guerras han servido, en multitud de ocasiones a lo largo de la historia, de acicate para el desarrollo de nuevas teorías matemáticas. Ejemplos bien conocidos son el estudio de la parábola y su relación con la balística (ciencia sobre la que ha recaído la tarea de estudiar la trayectoria de un proyectil) o el desarrollo de la teoría de la probabilidad como consecuencia de la correspondencia entre matemáticos aficionados a los juegos de azar.

Posiblemente el juego de estrategia más conocido en el mundo sea el ajedrez. Éste no es más que una simulación de un campo de batalla reglado de manera más o menos burda. El binomio juego-guerra, dos caras de la faceta más dionisiaca del hombre, jugó un papel crucial en la creación de una nueva rama de las matemáticas, y ésta en el desarrollo de los sucesos que acontecieron en plena guerra fría, años éstos que conformaron nuestro mundo tal y como hoy lo conocemos.

En el siglo XIX los prusianos inventaron un juego llamado Kriegspiel (juego de la guerra) en el que podían simular las estrategias militares desarrolladas en un campo de batalla. El éxito militar de ejército prusiano se atribuyó, en gran parte, al refinamiento táctico adquirido durante las simulaciones del Kriegspiel. No es difícil imaginarse a los generales prusianos discutiendo la estrategia adecuada mientras observan un tablero con caballería y artillería. La derrota de Alemania en la Primera Guerra Mundial desmitificó completamente este juego. El desarrollo del nuevo arsenal empleado en la Segunda Guerra Mundial y la generación de dos superpotencias que poseían, ahora sí, armas de destrucción masiva hicieron que el anterior tablero de Kriegspiel pareciera cuasi prehistórico, obsoleto para el análisis de esta nuevo tipo de guerra, que es potencialmente la última.

El matemático húngaro John Von Neumann y el economista austríaco Oskar Morgestern publicaron en 1944 Theory of Games and Economic Behavior, obra que da nombre a una nueva rama de las matemáticas, la teoría de juegos. Ésta fue presentada inicialmente como un modelo que permitía el estudio de interacciones entre diversos factores económicos, pero en sus primeros años de vida se asoció casi por completo a cuestiones militares.

El tipo más simple de juego es el de dos jugadores, dos estrategias y suma cero, esto es, un juego en el que dos jugadores que juegan de forma racional tratan de ganar y en el que la suma de ambos es cero, o sea, que uno gana y otro pierde. Para todos estos juegos, Von Neumann demostró que siempre hay una solución óptima, una en la cual ningún jugador pierde. A la vista de este hecho, juegos de la complejidad del ajedrez poseen una estrategia óptima, estrategia cuyo conocimiento convertiría a éste en un juego insignificante, un truco de magia deshecho.

La existencia de esta solución tiene enormes implicaciones en el estudio de las relaciones económicas y el análisis de situaciones de conflicto. Imaginemos por un momento la siguiente simulación conocida como el juego de “la división de la tarta”. Dos niños deben repartirse una tarta entre ambos de forma que cada uno intentará hacerse con la mayor porción que esté a su alcance. Un primer niño debe realizar los cortes y, a continuación, el segundo elegirá el trozo que desee. En el supuesto racional de que el primer niño reconozca la codicia del otro, resulta evidente que la mejor opción que tiene es cortar la tarta de la forma más justa que pueda si no quiere quedarse con un trozo menor que el de su compañero. En este caso, ninguno de los niños come menos porción de tarta que el otro y ambos quedan satisfechos (o al menos, no insatisfechos).

Ya en los años 40, John Nash, el matemático caricaturizado en la película Una Mente Maravillosa, extendió los resultados de Von Neumann a juegos de más jugadores y no necesariamente suma cero. El estudio de este tipo de juegos tiene, sobre todo, aplicaciones económicas como puede ser el análisis de un mercado de valores, en el que los jugadores-empresas pueden ganar o perder pero la cantidad total de dinero puede cambiar por lo que la ganancia de un jugador no debe reflejarse necesariamente en una perdida de otro jugador. También para este tipo de situaciones hay una estrategia óptima o solución de equilibrio que, no siempre pasa por el que a priori puede ser el curso obvio y natural de la acción.

Un ejemplo que puede ilustrar este hecho es el famoso Dilema del Prisionero ideado por Melvin Dresher y popularizado por Albert Tucker gracias a una interpretación que éste le dio al problema para una de sus clases de Sicología. Imaginémonos dos hombres arrestados por violación de la ley y arrojados en celdas distintas. Si uno solo confiesa, éste será premiado y el otro castigado; si confiesan ambos, los dos serán castigados; y si ninguno confiesa, ambos serán liberados. Lo paradójico del dilema es que para ambos, la estrategia óptima es guardar silencio aunque el temor a que ésta pueda volverse en contra si el otro confiesa puede llevar a ambos a delatarse mutuamente.

¿Existe una estrategia óptima para el empleo de las armas nucleares? ¿Cómo puede alguien plantearse este tipo de preguntas sin que se le erice el vello, sin que se ponga a temblar víctima de un miedo racional y atenazador? Durante algunos años, las únicas armas nucleares que existían estaban en posesión de los Estados Unidos. El miedo a que la Unión Soviética generara un arsenal nuclear impulsó a los americanos a crear en 1945 la RAND Corporation, un centro científico de alto nivel con financiación procedente principalmente de sectores militares y dedicado, casi en exclusiva, al desarrollo de las estrategias nacionales a seguir en un mundo nuclear.

Gran parte de los matemáticos de mayor nivel de los Estados Unidos durante los años cuarenta o cincuenta, trabajaron en la RAND Corporation en algún momento. Entre ellos jugaba un papel destacado Von Neumann, inicialmente defensor de la realización de un primer ataque inmediato a la Unión Soviética como medida preventiva y el establecimiento de un parlamento mundial para forzar la paz. Pronto cambió de opinión. El estudio con precisión lógica de la creciente acumulación de armas nucleares a ambos lados dejó patente que una estrategia de golpe por golpe no era la más adecuada. La partida nuclear se podía jugar sólo una vez y cualquier estrategia que no fuera la de la disuasión llevaba irremediablemente a la segura destrucción recíproca (MAD, Mutually Assured Destruction).

Resulta escalofriante pensar que la seguridad mundial dependió en cierta medida del resultado de unos fríos cálculos matemáticos y no menos el hecho de que la rama en la que éstos tuvieron cabida se denomine teoría de juegos. No se le puede reprochar sin embargo nada en este aspecto a la propia teoría, a la misma Matemática, esa diosa recelosa de sus secretos que, de vez en cuando, nos deja ver su irracional eficacia. Si algo ha demostrado la teoría de juegos es que, tanto en situaciones de conflicto como en cuestiones económicas, la solución óptima, aquella en la que todos los jugadores ganan, pasa por la cooperación entre éstos.

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